LOGIKA

LOGIKA

Konsep dan Notasi Dasar Proposisi

Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

Contoh 1

Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi:

a) 13 adalah bilangan ganjil.

b) 1 + 1 = 2.

c) 8  akar kuadrat dari 8 + 8.

d) Ada monyet di bulan.

e) Hari ini adalah hari Rabu.

f) Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka 2n adalah bilangan genap.

g) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil.

Contoh 2

Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi

(a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?

(b) Isilah gelas tersebut dengan air!

(c) x + 3 = 8

(d) x > 3

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….

p : 13 adalah bilangan ganjil.

q : Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka 2n adalah bilangan genap.

r : 2 + 2 = 4 2

Misalkan p dan q adalah proposisi.

1. Konjungsi (conjunction): p dan q

·        Notasi p ^q,

2. Disjungsi (disjunction): p atau q

Notasi: p ˅ q

3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p

Notasi: ~p

Contoh 3

Diketahui proposisi-proposisi berikut:

p : Hari ini hujan

q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

p ^ q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah

p˅q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah

~p : Tidak benar hari ini hujan

(atau: Hari ini tidak hujan) 3  

Contoh 4

Diketahui proposisi-proposisi berikut:

p : Pemuda itu tinggi

q : Pemuda itu tampan

Nyatakan dalam bentuk simbolik:

(a) Pemuda itu tinggi dan tampan

(b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan

(c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan

(d) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan

(e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan

(f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan

Penyelesaian:

(a) p ^ q

(b) p^ ~q

(c) ~p^~q

(d) ~(~p^ ~q)

(e) p˅(p~ ^q)

(f) ~(~p ^ ~q)

Misalkan p dan q adalah proposisi.

1. Kondisional atau implikasi : p → q

2. Konvers (kebalikan) : q → p

3. Invers : ~ p →~ q

4. Kontraposisi : ~ q → ~ p

Bikondisional (Bi-implikasi)

- Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q”

-Notasi: p ↔ q

Tabel kebenaran

Tautologi dan Kontradiksi

- Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus

- Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.

Contoh 7. p ˅ ~(p ^ q) adalah sebuah tautology

Contoh 8. (p ^ q) ^ ~(p ˅ q) adalah sebuah kontradiksi

Ekivalensi Logika

-Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, ..) dan Q(p, q, ..) disebutekivalen secara logika jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang identik.

Notasi: P(p, q, …)  Q(p, q, …)

Contoh 9. Hukum De Morgan: ~(p ^ q) ⇔ ~p ˅~q.

Aljabar Proposisi

Contoh 10

Tunjukkan bahwa p ˅ ~(p ˅ q) dan p ˅ ~q keduanya ekivalen secara logika.

Penyelesaian:

p ˅ ~(p ˅ q ) ⇔p ˅ (~p ^ ~q) (Hukum De morgan)

       ⇔ (p ˅ ~p) ^ (p ˅ ~q) (Hukum distributif)

                ⇔T ^ (p ˅ ~q) (Hukum negasi)

                         ⇔p ˅ ~q (Hukum identitas)

Contoh 11

Buktikan hukum penyerapan: p ^(p ˅ q) ⇔ p

Penyelesaian:

p ^ (p ˅ q) ⇔ (p ˅F) ^ (p ˅ q) (Hukum Identitas)

                     ⇔ p ˅ (F ^ q) (Hukum distributif)

            ⇔ p ˅ F (Hukum Null)

 

NEGASI

Negasi (ingkaran) adalah suatu pernyataan baru yang dapat dibentuk dari pernyataan semula sehingga bernilai benar jika pernyataan semula salah dan bernilai salah jika pernyataan semula benar.

Jika pada suatu pernyataan p, diberikan pernyataan lain yang disebut negasi p, dilambangkan oleh ~p, maka dapat dibentuk dengan menuliskan “Tidak benar…” di depan pernyataan p atau jika mungkin, dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan”di dalam pernyataan p.

  Pernyataan Berkuantor

Kuantor adalah pengukur kuantitas atau jumlah. Pernyataan berkuantor artinya pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Biasanya pernyataan berkuantor mengandung kata semua, setiap,beberapa, ada dan sebagainya. Kata-kata tersebut merupakan kuantor karena kata-kata tersebut menyatakan ukuran jumlah. Kuantor dibagi menjadi dua, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

Kuantor Universal

Pernyataan yang menggunakan kata semua atau setiap disebut pernyataan berkuantor universal. Kata semua atau setiap disebut kuantor universal. Berikut beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor universal.

a.    Semua kuda berlari cepat.

b.   Setiap bilangan asli lebih besar daripada nol.

Kalimat terbuka p(x) dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada kalimat terbuka itu dengan nilai-nilai pengganti pada himpunan yang telah ditentukan. Cara lain untuk mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan adalah dengan membubuhkan kuantor universal di depan kalimat terbuka itu. Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari p(x) dituliskan sebagai berikut.

" x, p(x)

dibaca: untuk setiap x berlakulah p(x) atau untuk semua x berlakulah p(x)

Kuantor Eksistensial

Pernyataan yang menggunakan kata beberapa atau ada disebut pernyataan berkuantor eksistensial. Kata beberapa atau ada disebut kuantor eksistensial. Berikut beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor eksistensial.

a.    Ada bis kota yang bersih.

b.   Beberapa dinding rumah terbuat dari papan kayu.

Seperti halnya pada kuantor universal, kuantor eksistensial juga dapat digunakan untuk mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan. Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari p(x) dituliskan sebagai berikut.

$ x, p(x)

dibaca: beberapa x berlakulah p(x) atau ada x berlakulah p(x)

Ingkaran Kuantor Universal

Perhatikan contoh berikut.

p : Semua kucing berwarna putih

ingkaran dari p adalah ~p : Tidak benar bahwa semua kucing berwarna putih, atau

~p : Ada kucing yang tidak berwarna putih

Berdasarkan contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah sebuah pernyataan berkuantor eksistensial. Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor universal dapat ditentukan sebagai berikut.

~[" x, p(x)] º $ x, ~p(x)

dibaca: ingkaran dari “untuk setiap x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan “ada x yang bukan p(x)”

Ingkaran Kuantor Eksistensial

Perhatikan contoh berikut.

p : Ada pria yang menyukai sepak bola

ingkaran dari p adalah ~p : Tidak ada pria yang menyukai sepak bola, atau

~p : Semua pria tidak menyukai sepak bola

Berdasarkan contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah sebuah pernyataan berkuantor universal. Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial dapat ditentukan sebagai berikut.

~[$ x, p(x)]  º " x, ~p(x)

dibaca: ingkaran dari “ada x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan “untuk semua x bukan p(x)”

CONTOH SOAL :

1.Nilai kebenaran negasi suatu pernyataan memenuhi sifat berikut ini: Jika p benar, maka ~p salah; jika p salah maka ~p benar. Jadi, nilai kebenaran negasi suatu pernyataaan selalu berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula. Sifat tersebut dapat dituliskan dalam bentuk tabel berikut ini.

p	~p
B S	S B

.a.    p      :  Semua bilangan prima adalah ganjil.

~p   :  Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil.

~p   :  Ada bilangan prima yang tidak ganjil.

b.   q      :  2 + 2 = 5

~q   :  Tidak benar 2 +2 =5

~q   :  2 + 2 ¹ 5

2.Negasi dari pernyataan “Ani senang bernyanyi dan tidak senang olah raga”, adalah …

A.    Ani tidak senang bernyanyi tetapi senang olah raga

B.     Ani senang bernyanyi juga senang olah raga

C.     Ani tidak senang bernyanyi atau tidak senang olah raga

D.    Ani tidak senang bernyanyi atau senang olah raga

E.     Ani senang bernyanyi atau tidak senang olah raga

Jawaban : D

Pembahasan:

Misalkan : p = Ani senang bernyanyi

~q = tidak senang olahraga

~ ( p Ù ~q ) º ~p Ú q

3. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk yang dinyatakan dengan (~pÙ q) Þ ~q pada tabel berikut adalah ….

p	q	(~p Ù q) Þ ~q
B B S S	B S B S	… … … …

A.    BBSS

B.     BSSS

C.     BBSB

D.    BSBB

E.     SBBB

sumber :

http://achieve-ourdreams.blogspot.com/2012/05/makalah-logika-matematika.html

PROPOSISI

 Proposisi

Konsep dan Notasi Dasar

Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

Contoh 1

Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi:

a) 13 adalah bilangan ganjil.

b) 1 + 1 = 2.

c) 8  akar kuadrat dari 8 + 8.

d) Ada monyet di bulan.

e) Hari ini adalah hari Rabu.

f) Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka 2n adalah bilangan genap.

g) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil.

Contoh 2

Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi

(a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?

(b) Isilah gelas tersebut dengan air!

(c) x + 3 = 8

(d) x > 3

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….

p : 13 adalah bilangan ganjil.

q : Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka 2n adalah bilangan genap.

r : 2 + 2 = 4 2

Misalkan p dan q adalah proposisi.

1. Konjungsi (conjunction): p dan q

·        Notasi p ^q,

2. Disjungsi (disjunction): p atau q

Notasi: p ˅ q

3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p

Notasi: ~p

Contoh 3

Diketahui proposisi-proposisi berikut:

p : Hari ini hujan

q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

p ^ q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah

p˅q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah

~p : Tidak benar hari ini hujan

(atau: Hari ini tidak hujan) 3  

Contoh 4

Diketahui proposisi-proposisi berikut:

p : Pemuda itu tinggi

q : Pemuda itu tampan

Nyatakan dalam bentuk simbolik:

(a) Pemuda itu tinggi dan tampan

(b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan

(c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan

(d) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan

(e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan

(f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan

Penyelesaian:

(a) p ^ q

(b) p^ ~q

(c) ~p^~q

(d) ~(~p^ ~q)

(e) p˅(p~ ^q)

(f) ~(~p ^ ~q)

Misalkan p dan q adalah proposisi.

1. Kondisional atau implikasi : p → q

2. Konvers (kebalikan) : q → p

3. Invers : ~ p →~ q

4. Kontraposisi : ~ q → ~ p

Bikondisional (Bi-implikasi)

- Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q”

-Notasi: p ↔ q

Tabel kebenaran

Tautologi dan Kontradiksi

- Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus

- Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.

Contoh 7. p ˅ ~(p ^ q) adalah sebuah tautology

Contoh 8. (p ^ q) ^ ~(p ˅ q) adalah sebuah kontradiksi

Ekivalensi Logika

-Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, ..) dan Q(p, q, ..) disebut ekivalen secara logika jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang identik.

Notasi: P(p, q, …)  Q(p, q, …)

Contoh 9. Hukum De Morgan: ~(p ^ q) ⇔ ~p ˅~q.

Aljabar Proposisi

Contoh 10

Tunjukkan bahwa p ˅ ~(p ˅ q) dan p ˅ ~q keduanya ekivalen secara logika.

Penyelesaian:

p ˅ ~(p ˅ q ) ⇔p ˅ (~p ^ ~q) (Hukum De morgan)

       ⇔ (p ˅ ~p) ^ (p ˅ ~q) (Hukum distributif)

                ⇔T ^ (p ˅ ~q) (Hukum negasi)

                         ⇔p ˅ ~q (Hukum identitas)

Contoh 11

Buktikan hukum penyerapan: p ^(p ˅ q) ⇔ p

Penyelesaian:

p ^ (p ˅ q) ⇔ (p ˅F) ^ (p ˅ q) (Hukum Identitas)

                     ⇔ p ˅ (F ^ q) (Hukum distributif)

            ⇔ p ˅ F (Hukum Null)

   ⇔p (Hukum Identitas)

SOAL:

1.Buktikan bahwa proposisi berikut “TAUTOLOGI” !!

{(pvq)⇒r } ⇔{ (p⇒r)∧(q⇒r) }
{p⇒(q∧r) }⇔{(p⇒q)∧(p⇒r) }
{(p∧q)⇒r}⇔{(p∧ ∼r)⇒∼q)
{(p∧q)⇒r}⇔{(p⇒r) v (q⇒r)}
(p⇒r)⇒{(p∧q)⇒r}∧{p⇒(q∧r) }⇒(p⇒q)

2.Tentukan Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Proposisi berikut,Kemudian tentukan kebenarannya!

Jika x=5 , Maka x^2=25
Jika x^2 bilangan asli, Maka x bilangan asli
Jika ∆ABC sama kaki, Maka ∠A= ∠C

Jawaban

1.Pembuktian “TAUTOLOGI”

{(pvq)⇒r } ⇔{ (p⇒r)∧(q⇒r) }
Jawab :
p q r { ( p v q ) ⇒ r } ⇔ { ( p ⇒r ) ∧ (q ⇒ r ) }
B B B B B B B B B
B B S B S B S S S
B S B B B B B B B
B S S B S B S S B
S B B B B B B B B
S B S B S B B S S
S S B S B B B B B
S S S S B B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

{p⇒(q∧r) }⇔{(p⇒q)∧(p⇒r) }
Jawab :
p q r { p ⇒ (q ∧ r) } ⇔ { (p ⇒ q) ∧ ( p ⇒r ) }
B B B B B B B B B
B B S S S B B S S
B S B S S B S S B
B S S S S B S S S
S B B B B B B B B
S B S B S B B B B
S S B B S B B B B
S S S B S B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

{(p∧q)⇒r}⇔{(p∧ ∼r)⇒∼q)}
Jawab :
p q r ∼q ∼r { (p ∧ q ) ⇒ r } ⇔ { (p ∧ ∼r) ⇒∼q )}
B B B S S B B B S B
B B S S B B S B B S
B S B B S S B B S B
B S S B B S B B B B
S B B S S S B B S B
S B S S B S B B S B
S S B B S S B B S B
S S S B B S B B S B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

{(p∧q)⇒r}⇔{(p⇒r) v (q⇒r) }
Jawab :
p q r {(p ∧ q ) ⇒r } ⇔ {(p ⇒ r) v (q ⇒ r )}
B B B B B B B B B
B B S B S B S S S
B S B S B B B B B
B S S S B B S B B
S B B S B B B B B
S B S S B B B B S
S S B S B B B B B
S S S S B B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

(p⇒r)⇒{(p∧q)⇒r}∧{p⇒(q∧r) }⇒(p⇒q)
Jawab :
p q r (p⇒r) ⇒ { (p∧q) ⇒ r } ∧ { p ⇒ (q∧r)} ⇒ (p ⇒ q)
B B B B B B B B B B B B
B B S S B B S B S S B B
B S B B B S B B B S B S
B S S S B S B B B S B S
S B B B B S B B B B B B
S B S B B S B B B S B B
S S B B B S B B B S B B
S S S B B S B B B S B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

Jawaban

2.Konvers, Invers, Kontraposisi dan Tabel Kebenaran

Jika x=5 , Maka x^2=25
Jawab :

p : x =5
q : x^2=25

konvers (q ⇒p)
Jika x^2=25 , maka x=5

Invers (∼p⇒∼q)
Jika x≠5 , maka x^2≠25

Kontraposisi (∼q⇒∼p)
Jika x^2≠25 , maka x≠5

Negasi (p∧∼q)
x=5 , akan tetapi x^2≠25

Tabel Kebenaran
p q ∼p ∼q Implikasi
( p⇒q) Konvers
(q ⇒p) Invers
(∼p⇒∼q) Kontraposisi
(∼q⇒∼p) Negasi
(p∧∼q)
B B S S B B B B S
B S S B S B B S B
S B B S B S S B S
S S B B B B B B s

Jika x^2 bilangan asli, Maka x bilangan asli
Jawab :

p : x^2 bilangan asli
q : x bilangan asli

konvers (q ⇒p)
Jika x bilangan asli, maka x^2 bilangan asli

Invers (∼p⇒∼q)
Jika x^2 bukan bilangan asli , maka x bukan bilangan asli

Kontraposisi (∼q⇒∼p)
Jika x bukan bilangan asli, maka x^2 bukan bilangan asli

Negasi (p∧∼q)
x^2 bilangan asli, akan tetapi x bukan bilangan asli

Tabel Kebenaran
p q ∼p ∼q Implikasi
( p⇒q) Konvers
(q ⇒p) Invers
(∼p⇒∼q) Kontraposisi
(∼q⇒∼p) Negasi
(p∧∼q)
B B S S B B B B S
B S S B S B B S B
S B B S B S S B S
S S B B B B B B s

Jika ∆ ABC sama kaki, Maka ∠A= ∠C
Jawab :

p : ∆ ABC sama kaki
q : ∠A= ∠C

konvers (q ⇒p)
Jika ∠A= ∠C, maka ∆ ABC sama kaki

Invers (∼p⇒∼q)
Jika ∆ ABC bukan sama kaki , maka ∠A ≠∠C

Kontraposisi (∼q⇒∼p)
Jika ∠A ≠∠C, maka ∆ ABC bukan sama kaki

Negasi (p∧∼q)
∆ ABC sama kaki, akan tetapi ∠A ≠∠C

Tabel Kebenaran
p q ∼p ∼q Implikasi
( p⇒q) Konvers
(q ⇒p) Invers
(∼p⇒∼q) Kontraposisi
(∼q⇒∼p) Negasi
(p∧∼q)
B B S S B B B B S
B S S B S B B S B
S B B S B S S B S
S S B B B B B B s

http://achemadfaroeqs.wordpress.com/2013/06/25/logika-matematika-proposisi/ 
http://njuwetpinggirkali.wordpress.com/2011/03/29/contoh-soal-logika-matematika/